きゃねろぐ

とある「おひさま」の徒然日記

東工大2022 数学第3問

(1)

x 軸正の方向と直線 \mathrm{AP}, \mathrm{BP} がなす角の大きさはそれぞれ \frac{\pi}{2}+t-\alpha, t-\alpha である．

t=\alpha のとき， \mathrm{P}(\sin\alpha,\cos\alpha) である．

t\ne\alpha のとき，直線 \mathrm{AP}, \mathrm{BP} の式はそれぞれ以下の通りである．

y=\tan(\frac{\pi}{2}+t-\alpha)(x-\sin t)=-\frac{1}{\tan(t-\alpha)}(x-\sin t),
y=\tan(t-\alpha)x+\cos t.


これら二式から x を消去すると，

\tan(t-\alpha)x+\cos t=-\frac{1}{\tan(t-\alpha)}(x-\sin t), \tan^2(t-\alpha)x+\cos t\tan(t-\alpha)=-x+\sin t, (1+\tan^2(t-\alpha))x=\sin t-\cos t\tan(t-\alpha),
\frac{1}{\cos^2(t-\alpha)}x=\frac{\sin\alpha}{\cos(t-\alpha)},
x=\sin\alpha\cos(t-\alpha).


よって， P の x 座標は \sin\alpha\cos(t-\alpha) である．

同様に y 座標も求めることで， \mathrm{P}(\sin\alpha\cos(t-\alpha),\cos\alpha\cos(t-\alpha)) を得る．

したがって， P は直線 y=\frac{x}{\tan\alpha} 上に存在し，これは t=\alpha の時も成り立つ．

以上より，求める直線の方程式は y=\frac{x}{\tan\alpha} である．

(2)

f(t)=\cos(t-\alpha) とおくと， f'(t)=-\sin(t-\alpha) より，

t 0 \cdots \alpha \cdots \frac{\pi}{2}
f'(t) + -
f(t) \cos\alpha \nearrow 1 \searrow \sin\alpha

のような増減表を得る．

\cos\alpha と \sin\alpha の大小に注意し(1)の結果をふまえると ，求める道のりは，

直線 y=\frac{x}{\tan\alpha} の \sin^2\alpha\le x\le \sin\alpha の範囲（ 0\lt\alpha\le\frac{\pi}{4}）
直線 y=\frac{x}{\tan\alpha} の \sin\alpha\cos\alpha\le x\le \sin\alpha の範囲（ \frac{\pi}{4}\le\alpha\lt\frac{\pi}{2}）


である．

(3)

すべての 0\le t\le\frac{\pi}{2} に対し，

x^2-x+y^2=\cos(t-\alpha)(\cos(t-\alpha)-\sin\alpha)=f(t)(f(t)-\sin\alpha)


または

x^2+y^2-y=\cos(t-\alpha)(\cos(t-\alpha)-\cos\alpha)=f(t)(f(t)-\cos\alpha)


が 0 以上であることを示せば良い．

(2)で求めた f(t) の増減表から，

  • 0\le t\le\alpha のとき， f(t)\ge\cos\alpha>0 より， x^2+y^2-y\ge 0 が成り立つ．

  • \alpha\le t\le\frac{\pi}{2} のとき， f(t)\ge\sin\alpha>0 より， x^2-x+y^2\ge 0 が成り立つ．

以上より，題意は示された．

\square