きゃねろぐ

とある「おひさま」の徒然日記

東工大2022 数学第2問

(1)

$x=a+b+c,y=bc+ca+ab,z=abc$ とおく．

$\mathrm{gcd}(x,y,z)=1$ を背理法で示す．

$\mathrm{gcd}(x,y,z)\ne1$ と仮定すると，ある素数 $p$ が存在して $x,y,z$ はすべて $p$ の倍数である．

特に， $z=abc$ が $p$ の倍数であることから， $a,b,c$ のいずれか一つは $p$ の倍数である．

$a$ が $p$ の倍数であるとして一般性を失わない．

このとき，

$b+c=(a+b+c)-a=x-a$ , $bc=(bc+ca+ab)-a(b+c)=y-a(b+c)$

より， $b+c,bc$ はともに $p$ の倍数である．

特に， $bc$ が $p$ の倍数であることから， $b,c$ のいずれか一つは $p$ の倍数である．

$b$ が $p$ の倍数であるとして一般性を失わない．

このとき， $c=(b+c)-b$ も $p$ の倍数となるが， $a,b,c$ がすべて $p$ の倍数となるため $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1$ に矛盾する．

したがって， $\mathrm{gcd}(x,y,z)=1$ である．

$\square$

(2)

$v=a^2+b^2+c^2,w=a^3+b^3+c^3,\mathrm{gcd}(x,v,w)=K$ とおく．

$v=(a+b+c)^2-2(bc+ca+ab)=x^2-2y$ , $w=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)+3abc=x^3-3xy+3z$

より， $K=\mathrm{gcd}(x,x^2-2y,x^3-3xy+3z)$ が成り立つ．

(i)

$K$ が $4$ の倍数であると仮定すると， $x,x^2-2y,x^3-3xy+3z$ はすべて $4$ の倍数である．

$2y=x^2-(x^2-2y)$ であり，右辺は $4$ の倍数なので， $y$ は $2$ の倍数である．

$3z=(x^3-3xy+3z)-x(x^2-3y)$ であり，右辺は $4$ の倍数なので， $z$ は $4$ の倍数である．

以上より， $x,y,z$ はすべて $2$ の倍数となるが，これは(1)で示した $\mathrm{gcd}(x,y,z)=1$ に矛盾する．

したがって， $K$ は $4$ の倍数でない．

(ii)

$K$ が $9$ の倍数であると仮定すると，(i)と同様の議論により $x,y,z$ はすべて $3$ の倍数となり $\mathrm{gcd}(x,y,z)=1$ に矛盾する．

したがって， $K$ は $9$ の倍数でない．

(iii)

$5$ 以上の素数 $p$ に対し $K$ が $p$ の倍数であると仮定すると，(i),(ii)と同様の議論により $x,y,z$ はすべて $p$ の倍数となり $\mathrm{gcd}(x,y,z)=1$ に矛盾する．

したがって， $K$ は $p$ の倍数でない．

(i)〜(iii)より， $K$ としてあり得る値は $1,2,3,6$ のいずれかである．

実際，

$(a,b,c)=(1,1,3)$ のとき， $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1,K=\mathrm{gcd}(5,11,29)=1$ , $(a,b,c)=(1,1,2)$ のとき， $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1,K=\mathrm{gcd}(4,6,10)=2$ , $(a,b,c)=(1,1,1)$ のとき， $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1,K=\mathrm{gcd}(3,3,3)=3$ , $(a,b,c)=(1,1,4)$ のとき， $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1,K=\mathrm{gcd}(6,18,66)=6$ ,

となることから， $K=1,2,3,6$ はすべてあり得る．

以上より，求める値は $1,2,3,6$ である．